理想気体の断熱関係式を統計力学から導く

熱力学の教科書を見ると大抵導出が乗っていますがここでは、統計力学を使ってそれを求めて見ます。

理想気体のエントロピー

カノニカル分布関数は、
$Z_N = \frac{1}{h^3}\int d^3pd^3q \exp \left[ -\beta \frac{p^2}{2m} \right$ ]
$= \frac{V^N}{h^{3N}}\left(\frac{2\pi m}{\beta} \right)^{3N/2}$
これを用いてエントロピーは次の様に求めることができる。

$S = -\frac{\partial}{\partial T}\left( -kT \log \left( \frac{V}{h^3} \left( 2\pi m kT \right)^{3/2} \right) \right)$
$= N\left( k\log \left( V \left( \frac{2\pi m k T}{h^2} \right)^{3/2} \right)-\frac{3}{2}k\right)$