ペロン・フロペニウスの定理とマスター方程式

私用で調べたことの覚え書きです。
ペロン・フロベニウスの定理を用いてマスター方程式
$\frac{d}{dt}P(t) = \sum_jD_{ij}P(t)$ において
Dが既約でかつ対角化可能な時、定常状態がひとつであることを示します。

Pを確率分布として解釈するためにはマスター方程式が $\sum_iD_{ij}=0$ を満す必要があります。
これは $\vec{d_0}=[1,1,\cdots,1$ ]を用いて、
$\hat{D}^t\vec{d_0}=0$ と書くことができます。
ペロン・フロベニウス固有値 $\lambda_{pf}$ と対応する固有ベクトル $\vec{v}_{pf}$ を用いて、
[tex:\lambda_{pf}<\vec{d_0},\vec{v}_{pf}>=<\vec{d_0},\lambda_{pf}\vec{v_{pf}}>==0]
これから、 $\lambda_{pf}=0$ となることが分かります。