ユニタリー行列の行列式が±1で無いこと

最近まで、ユニタリー行列の行列式は必ず±1であると思いこんでいました。
たぶん直行行列の場合と混同していたせいです。
実際には、 $\exp(i \theta)$ と絶対値が1の複素数になります。
証明は次の様にします。
ユリタリー行列Uの性質から、
$U^{\dag}U=1$
この両辺の行列式を計算すると、
$1 = Det U^{\dag}U=Det U^{\dag} Det U = Det U^* Det U = (Det U)^* Det U = |Det U|^2$
ここで転置を取っても行列式が値を変えないことを用いた。
これをみたすには、実数 $\theta$ を用いて、
$Det U = e^{i \theta}$ とすれば良い。