レビ・チビタの記号についての2,3の公式

3次元のレビ・チビタの記号についての公式をまとめておきます。

以下縮約ルールを用いる。(同じ添字が現れたら1〜３までの和を取る.)

$\epsilon_{iab}\epsilon_{inm}=\delta_{an}\delta_{bm}-\delta_{am}\delta_{nb}$

$\epsilon_{ijb}\epsilon_{ijm}=\delta_{jj}\delta_{bm}-\delta_{jm}\delta_{jb}$
$= 3\delta_{bm}-\delta_{mb}$
$= 2\delta_{bm}$

$\epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}=2\delta_{kk}=2\times 3 = 3!$

d次元の場合にも類似した公式を導くことが出来る。
例えば、

$\epsilon_{i_1i_2\ldots i_d}\epsilon_{i_1i_2\ldots i_d}=d!$